講義の前半では、数学の共通言語である集合や写像といった基本的な概念について学び、それらを使いこなせるようになることを目指します。後半では、整数、数え上げ、漸化式などの問題を題材として、今後の学習につながる初歩的な概念を習得しつつ、数学的なひらめきを得るセンスや論理的な思考力の獲得・定着を図ります。並行して学ぶ解析学や線形代数の学習内容とも関連づけられており、考える楽しさを実感しながら、数学するための足腰を鍛えます。

代数の入門授業です。初等整数論から始め、環や体といった代数系の基礎概念を、例をあげて学びます。代数系では、その定理が抽象的な形で述べられることが多いため、理解するにはある程度の慣れが必要です。この講義では、整数や多項式など馴染みのある対象を用いて実際に計算を行い、その体験によって環や体の基本的な概念に親しみます。その上で、例えば、初等整数論の最も基本的な定理のひとつであるオイラーの定理など、抽象的な定理を咀嚼する能力を高めています。

この講義では曲線や曲面を用いて微分幾何学の入門を行います。曲線や曲面がどのくらい曲がっているのかを表す道具が曲率です。実際の曲線や曲面について曲率を計算しながら、ものが曲がっているという幾何学的イメージをつかんでいきます。平面上の三角形の内角の和は１８０度です。曲率が正の球面では、三角形の内角の和は１８０度より大きくなります。ガウス・ボンネの定理は三角形の内角の和を曲率の積分と結びつけます。中学で習う三角形の内角の和は実は平面の幾何学的な性質を表しているのです。

３年次からは数学の応用をテーマとした講義も始まります。「ファイナンス数学」はその一つです。現実の経済において重要な役割をはたすファイナンス理論について、数理的側面に焦点をあてながら学びます。資本資産価格モデルやデリバティブ価格評価モデル、金融データ分析の学習を通して、微分積分・線形代数・確率統計などの１・２年次に学ぶ数学がファイナンスの議論に欠かせないことを実感できるでしょう。

少人数に分かれて学生自身が発表する形式の演習です。前半は既習事項を復習し発展させるための問題演習を行い、複数の科目・分野にまたがる話題にもふれ、問題を多角的にとらえる力を養います。後半は学生があらかじめテキストを読み内容を発表するテキストセミナーを行います。わかりやすい発表を心がけることにより、内容を深く理解し説明する能力を養うことができます。また、さまざまな分野の話題に関わることで、「卒業研究」のテーマを選定する参考にもなります。

群論・表現論とは、左右反転したり回転しても重なり合う図形のような、対称性を持つものや現象を数学的に研究する分野です。5次方程式に解の公式がないことは、解の対称性に注目することで群論を用いて説明できます。また人間の耳では、音を基本的なきれいな波に分解して聞いていますが、この音の分解を表現論の観点から理解することもできます。さまざまな現象に潜む隠れた対称性を見つけ出すことや、その対称性のきれいな現れ方を調べることで、一見すると複雑な現象を明確に理解することが目標です。

我々は、微分方程式や力学系理論、コンピュータシミュレーションを用いて、人口動態や感染症流行の理解を目指しています。感染症の流行は、複雑な非線形現象で、そのメカニズムの理解が十分でない場合も少なくありません。我々は、感染症の流行現象を表す数理モデルを考え、開発し、数理モデルの構造や性質を調べることによって、現象の理解に迫りたいと考えています。研究の過程では、興味深い性質を持った微分方程式と出会うこともあり、その性質を数理的に明らかにしていくことも重要な研究課題です。

偶然に左右される不確実な現象を数学的に研究する分野が確率論です。偶然現象の背後にある数学的な特性を捕まえることが、確率論の大きなテーマです。最も単純な確率の問題は高校数学で学ぶ「さいころ投げ」ですが、それ以外にも「トランプは何回混ぜれば十分か」という身近な話題から「金融派生商品の価格をどう決めるべきか」といった高度に専門的なものまで、確率論の考え方は現実社会の様々な場面で用いられています。